Народився у м. Рума (Сербія). Освіту здобув в Единбурзькій, Сегединській і Петербурзькій академіях вищих наук, після чого (у 1797–1799 роках) слухав лекції в Геттінгенському університеті. У 1799 році в Тюбінгенському університеті здобув ступінь доктора вільних наук і філософії. У 1803 році попечителем Харківського навчального округу графом Станіславом Потоцьким був запрошений у Харківський університет, що саме готувався до відкриття, як професор фізики. Разом з Василем Назаровичем Каразіним брав активну участь в організації діяльності університету, зокрема, у створенні його фізичного кабінету, яким потім і завідував. З моменту відкриття Харківського університету читав теоретичну й експериментальну фізику, метеорологію, а в 1806–1807 роках — сільське домоведення. Його перу належать роботи навчального характеру з фізичної географії та астрономії.

З 1805 до 1809 року був деканом відділення фізичних та математичних наук філософського факультету, з 1804 до 1810 року (з перервою) — секретарем Загальних зборів університету. З 1805 до 1813 року — членом училищного комітету при Харківському університеті. Двічі обирався ректором університету (1807–1808, 1811–1813 роки).

У 1813 році за звинуваченням у незаконних комерційних операціях був звільнений з університету. У 1815 році Афанасій Іванович Стойкович подав прохання про перегляд справи, однак воно було відхилене. Після своєї відставки переїхав до Санкт-Петербурга, де служив у різних відомствах.

Афанасій Іванович Стойкович був членом-кореспондентом Імператорської академії наук та мистецтв (з 1809 року); членом вчених товариств у Геттінгені, Празі, Варшаві; членом Ієнського та Московського товариств природодослідників; почесним членом Філотехнічного товариства, а також одним із його засновників.

З 1809 року був дійсним членом Вільного економічного товариства, з 1814 року — членом Московського університету і товариства лікарських та фізичних наук при Московському університеті, з 1816 року — членом Медико-хірургічної академії, з 1827 року — Московського товариства сільського господарства, з 1828 року — Російської академії.

Був нагороджений орденом Св. Анни.