Народився в Харкові в багатій купецькій сім’ї. Спочатку отримав домашню освіту, потім два роки пробув у приватному пансіоні, що дозволило йому в 1846 році вступити до 3-го класу 2-ї харківської гімназії. У 1850 році із золотою медаллю закінчив гімназію і вступив на медичний факультет Харківського університету.
У 1855 році з відзнакою закінчив університет. Протягом двох наступних років був помічником ординатора при хірургічній клініці. У 1857 році захистив докторську дисертацію. У 1858 році відправлений за кордон, де слухав лекції в університетах Відня, Праги, Берліна, Парижа. Спеціалізувався в лабораторіях Рудольфа Вирхова, Карла Фрідріха Вільяма Людвіга та інших.

У 1863 році затверджений ординарним професором по кафедрі фізіології та загальної патології медичного факультету Харківського університету. Читав фізіологію дихання, кровообігу та нервової системи; енциклопедію та методологію медицини, теорію гальваномагнітних лікувань; курс загальної патології на відповідній кафедрі; певний час на кафедрі ембріології, гістології та порівняльної анатомії читав гістологію. Наукові праці Івана Петровича Щелкова присвячені фізіології. Його перу належить підручник з фізіології у 3-х випусках. Вперше в Росії організував фізіологічну лабораторію, що дозволило йому проводити експериментальні дослідження. Був засновником харківської школи фізіологів. Його обирали деканом медичного факультету, проректором університету.

У 1884 році призначений ректором Харківського університету, обов’язки якого виконував до 1890 року. Потім був переведений на посаду ректора Варшавського університету. У 1892 році рада Харківського університету обрала його своїм почесним членом. Після закінчення службової діяльності переїхав до м. Судак (Таврійської губернії) на постійне місце проживання.

Нагороджений орденами св. Анни II ступеня; Св. Станіслава I ступеня; Св. Володимира III ступеня.