Народився в слободі Таранівка Зміївського повіту Слобідсько-Української губернії (нині Харківська область) у сім’ї небагатого поміщика. Початкову освіту отримав у Валківському народному училищі. У 1799 році вступив до Харківського колегіуму, який закінчив у 1806 році. Тоді ж був зарахований казеннокоштним студентом до Харківського університету на відділення фізики та математики. Був учнем Тимофія Федоровича Осиповського.

Після закінчення університету залишився при ньому. У 1813 році отримав ступінь магістра. З 1815 року був ад’юнктом на кафедрі чистої математики. У 1819 році затверджений у званні екстраординарного професора, а в 1826 році став ординарним професором. У 1845 році затверджений у званні заслуженого професора.
Читав курси з алгебри, геометрії тощо. Був наставником Михайла Васильовича Остроградського. У 1820 році Андрій Федорович Павловський надрукував «Таблицы логарифмов по изданию Каллета со своим „Предуведомлением“». З 1828 до 1829 року був секретарем ради університету. Член «Экзаменационного комитета для испытания лиц, ищущих звания учителя гимназий», Училищного комітету, Філотехнічного товариства.

У 1830 році обраний бібліотекарем університетської бібліотеки (перебував на цій посаді до 1837 року). До січня 1835 року склав рукописний каталог з богослов’я, філософії, правознавства, політики, статистики, географії; продовжив складання повного каталогу.

У 1833–1835 роках був інспектором студентів. Упродовж 1837–1838 років перебував на посаді ректора Харківського університету. Вийшов у відставку в 1849 році. У 1850 році Рада університету обрала Андрія Федоровича Павловського своїм почесним членом.

Наприкінці 1880-х років у Харківському університеті при фізико-математичному факультеті на кошти його сина, Федора Андрійовича, була заснована премія за кращу роботу з математики імені Андрія Федоровича Павловського.