Народився в Харкові в родині професора медицини. У 1912 році закінчив 1-шу Харківську гімназію та вступив на перший курс фізико-математичного факультету Юр’ївського (нині Тартуського) університету. Через тяжку хворобу перервав навчання і поїхав на лікування до Італії.

З 1914 до 1919 року навчався на фізико-математичному факультеті Харківського університету. Після закінчення навчання його було залишено на кафедрі астрономії для приготування до професорського звання.

З 1919 року почав працювати в астрономічній обсерваторії й викладати в університеті. У 1920-х роках викладав також у Харківському технологічному інституті та Харківському інституті народної освіти.

У 1925–1926 роках завідував астрономічним відділом при Всеукраїнському музеї імені Артема. У 1929–1933 роках завідував фотометричним відділом Харківської Палати мір і терезів. З 1930 року протягом кількох десятиліть керував Харківською астрономічною обсерваторією. З 1933 року став завідувачем кафедри астрономії Харківського університету, з 1934 року — професором.

У 1936 році Миколі Павловичу Барабашову за сукупністю праць без захисту дисертації було присвоєно науковий ступінь доктора фізико-математичних наук, а в 1941 році — почесне звання «Заслужений діяч науки УРСР».

У 1943–1945 роках перебував на посаді ректора Харківського університету. У 1948 році був обраний дійсним членом АН УРСР. Понад 15 років очолював Комісію з фізики планет Астрономічної ради АН СРСР, брав активну участь у роботі Комісії з дослідження умов на Місяці та планетах і підкомісії з природи місячної поверхні. Був Героєм Соціалістичної Праці, членом Міжнародного астрономічного союзу, головою Астрономічної ради АН УРСР. Також Микола Павлович був автором близько 600 друкованих праць. Сконструював перший радянський спектрогеліоскоп, був одним з авторів і редактором першого «Атласу зворотного боку Місяця».

Миколі Павловичу Барабашову належать значні відкриття у вивченні планет сонячної системи. Він проводив педагогічну та громадську роботу. Був одним із засновників товариства «Знання» у Харкові. Брав участь в організації Харківського планетарію. Його ім’я присвоєно кратеру на Марсі.