Народився у збіднілій дворянській сім’ї. Після закінчення Першої харківської гімназії у 1813 році вступив до Харківського університету на медичний факультет як казеннокоштний студент. По закінченні університету в 1817 році став кандидатом медицини. З 1818 року продовжив навчання в Санкт-Петербурзькій військово-медичній академії, де протягом трьох років удосконалював свої знання в галузі медицини (перш за все хірургії). Витримавши іспит, став лікарем 1-го ступеня, потім склав іспити на ступінь медика-хірурга. Повернувшись до Харківського університету, читав курси загальної хірургії (теоретичну, оперативну й патолого-терапевтичну хірургію), курс про хірургічні інструменти, деякий час також викладав на кафедрі анатомії та акушерства.

Мав велику лікарську практику. З 1820 року став ад’юнктом хірургії, з 1823 року — екстраординарним, а з 1825 року — ординарним професором.

У 1821 році Микола Іванович Єллінський був обраний секретарем медичного факультету. У 1827–1833 роках перебував на посаді декана медичного факультету, майже 14 років (до 1833 року) завідував факультетською хірургічною клінікою.

У 1830 році Микола Іванович Єллінський був обраний ректором Харківського університету, посаду якого займав до 1833 року, поки через хворобу не був змушений піти у відставку. Залишив по собі праці з хірургії, зокрема, високо оцінений медиками посібник — «Обозрение десмургии» у 2-х томах. Був активним членом Філотехнічного товариства.