Народився в с. Лука Сумської області в сім’ї службовця. У 1930 році сім’я переїхала до Харкова. У роки Великої Вітчизняної війни перебував в евакуації у Поволжі. У 1943–1944 роках навчався в Саратовському авіатехнікумі й екстерном закінчив 10-й клас середньої школи. У 1944–1950 роках був студентом Харківського авіаційного інституту. Після його закінчення працював конструктором та старшим інженером на військовому заводі в Харкові.

У 1950–1953 роках навчався в аспірантурі при кафедрі теоретичної механіки Харківського державного університету. У 1953 році захистив кандидатську дисертацію на тему «Питання газодинамічної теорії змащення і метод інтегральних співвідношень».

У 1953–1961 роках був доцентом кафедри теоретичної механіки, доцентом кафедри обчислювальної математики, заступником декана фізико-математичного факультету, начальником обчислювального центру Харківського державного університету. У 1961–1963 роках — експертом ЮНЕСКО в Бомбейському технологічному інституті (Індія). З 1966 року завідував кафедрою теоретичної механіки Харківського державного університету, у 1972–1974 роках був старшим науковим співробітником Харківського державного університету. У 1975 році захистив докторську дисертацію на тему «Основні завдання гідродинаміки намагнічувального і поляризаційних середовищ». У 1976 році був затверджений у званні професора. У 1974–1975 роках перебував на посаді проректора з навчальної роботи. З 1975 до 1993 року був ректором університету.

Іван Євгенович — визнаний фахівець у галузі механіки рідини, газу та плазми, був автором понад 200 друкованих праць. Спільно з Андрієм Івановичем Борисенко написав підручник «Векторний аналіз та початки тензорного обчислення», який витримав шість видань в СРСР та одне в Індії. Мав чисельні патенти та винаходи. Під науковим керівництвом Івана Євгеновича Тарапова захищено 14 кандидатських дисертацій та одна докторська. Брав активну участь у суспільному житті. Нагороджений орденом Трудового Червоного Прапора (1981 рік) та медалями. Був членом Російського та Українського національних комітетів з теоретичної та прикладної механіки (Російського — з 1989 року, Українського — з 1994 року). Був також членом Ради ДКНТ з проблем феромагнітних рідин та Координаційної Ради з проблеми «магнітні рідини».

Іван Євгенович Тарапов приділяв велику увагу проблемам вищої школи. Він написав низку статей з питань науки та освіти, а також монографію «Інтелектуальна праця, наука та освіта. Криза в Україні» (1994 рік). З 1999 до 2002 року був головним редактором журналу «UNIVERSITATIS = Університети».